합동식
우리는 일주일 단위로 생활을 해나가는 경향이 있다. 그래서 일요일에 대한 느낌은 월요일과는 다르고 금요일은 또 화요일과는 다르다. 1997년 12월에는 2, 9, 16, 23, 30일이 화요일이다. 그런 점에서 그 숫자들은 모두 동등한 것이라고 생각할 수 있을 것이다. 어느 화요일에서 다음 화요일까지는 일곱 날을 기다려야 한다. 즉, 9, 16, 23, 30은 2에다 7을 몇 번 더해서 다다를 수 있는 수들이다. 한 걸음 더 나아가 이들 중에서 아무거나 하나 골라서 7을 몇 번 더하거나 빼주면 나머지 다른 수들에 다다를 수도 있다. 이것을 수학에서는 보기를 들어 “2와 9는 법 7에 대해서 합동이다”, 또는 “2, 9, 16, 23, 30은 법 7에 대해서 합동이다”와 같이 말한다. 기호로는
2 ≡ 9 (mod 7)
2 ≡ 9 ≡ 16 ≡ 23 ≡ 30 (mod 7)
로 쓰고 합동식이라고 부른다. 여기서 mod는 모드라고 읽히는데 그것을 우리말로 법이라고 번역한 것이다. 법이라고 번역한 뜻은 “그 나라에 가면 그 나라 법을 따라라”하는 격언이 있듯이 법에 따라 같은 두 수가 합동일 수도 있고 아닐 수도 있기 때문이다. 가령 2에다 6을 여러 번 더하거나 빼도 9에 다다를 수는 없으므로 “2, 9는 법 6에 대해서 합동이 아니다”.
합동식의 응용
가게에서 456원짜리 물건을 24개 사서 값을 치르려고 하는데 가게 주인이 11184원을 달라고 한다. 과연 가게 주인이 한 계산은 올바른가? 만약 그가 한 계산이 올바른지 아닌지를 그 자리에서 순식간에 확인할 수 있다면 나중에 계산이 틀렸다고 다시 그를 찾아와서 얼굴 붉히며 따지는 일은 없을 것이다. 즉, 지금 여러분은
456 · 24 = 11184 (?)
가 맞는지를 알고 싶다. 만약 그 등식이 옳다면
456 · 24 ≡ 11184 (mod 9)
도 올바를 것이다. 그런데 합동식 왼쪽은
456 · 24 ≡ (4+5+6) · 24 ≡ 6 · 6 ≡ 36 ≡ 0 (mod 9)
인 반면 오른쪽은
11184 ≡ 1 + 1 + 1 + 8 + 4 ≡ 6 (mod 9)
로 양쪽이 서로 같지 않다. 따라서
456 · 24 ≠ 11184
이고 가게 주인은 어디에선가 잘못 계산한 것이다. 여기서 계산을 머리 속에서 빨리 하는 요령은 45나 18 처럼 각 자릿수를 더해서 9가 되는 수는 계산에서 생각하지 않는 것이다. 즉,
456 · 24 ≡ 6 · 6 (mod 9)
와 같고
11184 ≡ 114 (mod 9)
처럼 된다.
이렇게 계산을 검증하는 방법은 더하기와 빼기에 대해서도 마찬가지로 적용된다. 보기를 들어
(*) 72569 + 68534 = 141103
이라는 계산에 틀린 데가 없나 간단하게 확인해보고 싶은 경우 합동식을 이용할 수 있다. 즉,
72569 + 68534 ≡ 141103 (mod 9)
가 맞는다면 (*)도 올바를 가능성이 높다. 합동식의 왼쪽은
72569 + 68534 ≡ 56 + 8 ≡ 1 (mod 9)
이고 오른쪽은
141103 ≡ 1 + 4 + 1 + 1 + 3 ≡ 1 (mod 9)
로 양쪽이 같다. 합동식이 성립하는 것으로 봐서 (*)는 어느 한 숫자를 잘못 쓴 것과 같은 실수를 하지는 않았다는 것을 알 수 있다.
주의할 점은 이 방법이 성립하지 않는 경우도 있다는 것이다. 보기를 들어 360 · 18 = 6480 , 360 · 19 = 6480 이므로 만약 누군가가 360 · 18 = 6840 으로 잘못 계산했다 하더라도 그것을 앞서와 같은 합동식을 써서 확인하는 것은 불가능하다. 즉, 만약 a,b가 어떤 법에 대해 합동이 아니라면 a ≠ b 라고 단정할 수 있으나 a ≡ b (mod m) 이라고 해서 섣불리 a=b 라고 할 수는 없다.